誤謬：複素数冪の指数法則 2
誤謬
次の指数法則は複素数の冪についていつでも成り立つ．
\[(z^{\alpha})^{\beta} = (z^{\beta})^{\alpha} = z^{\alpha\beta}\]
判定方法
指数 $\alpha$ と $\beta$ が共に整数であるか， もしくは主枝をとった場合は，表題の指数法則はいつでも成り立つ． それ以外の場合は特別な場合を除いて保証されない．
その特別な場合の中には注目すべき場合があり，コメントで詳しく述べる．
反例
後で述べるように，$k\in\mathbb{Z}$ で，$\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Q}$ について，以下の計算となる．
\[(z^{\alpha})^k = z^{k\alpha}\]一方で次が得られる．
\[(z^k)^{\alpha} = e^{2\pi i\alpha m} z^{\alpha k}\]つまり主枝 $m=0$ でない場合には一致しない． またもし $\alpha\in\mathbb{Q}$ である場合には， 主枝の他にも，既約分数の分母を相殺する分枝を選んでいれば一致するが，それ以外は一致しない．
コメント
基本事項
複素数の冪関数は次のように定義された．
\[z^{\alpha} := e^{\alpha\log z}\]そして複素対数関数は次のように定義された．
| \begin{eqnarray} \log z &:=& {\ln | z | + i\arg z \mid z\neq 0 }, \ \arg z &:=& {\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}}, \ \mathrm{Log} z &:=& \ln | z | + i\mathrm{Arg} z \end{eqnarray} |
ここで多価性は偏角部分 $\arg z$ に表れている． これらを基礎に丁寧に見ていけば，自ずと誤謬が明らかとなる．
今回は更に以下の等式が重要になる．
\begin{eqnarray} \log z^{\alpha} &=& {\alpha \log z + 2\pi i n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}}, \ \log z^{\frac{1}{k}} &=& \frac{1}{k}\log z ~~ (k\in\mathbb{Z}) \end{eqnarray}
$(z^{\alpha})^{\beta}$ と $(z^{\beta})^{\alpha}$ そして $z^{\alpha\beta}$ について
$(z^{\alpha})^{\beta}$ と $z^{\alpha\beta}$ を評価すると次のようになる．
\begin{eqnarray} (z^{\alpha})^{\beta} &=& e^{\alpha\beta\log z + 2\pi i\beta n}, \ (z^{\beta})^{\alpha} &=& e^{\alpha\beta\log z + 2\pi i\alpha m}, \ z^{\alpha\beta} &=& e^{\alpha\beta\log z} \end{eqnarray}
こうして次を得る．つまり何れも一般には一致しない．
\begin{eqnarray} (z^{\alpha})^{\beta} &=& e^{2\pi i\beta n}z^{\alpha\beta}, \ (z^{\beta})^{\alpha} &=& e^{2\pi i\alpha m}z^{\alpha\beta} \end{eqnarray}
この結果から特に次が成り立つとわかる．
いかなる分枝についても次が成り立つ．
\[(z^{\alpha})^k = z^{k\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})\]しかし次が成立することはその限りでなく，指数の順序を安易に変更できない．
\[(z^{\alpha})^k = (z^k)^{\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})\]証明略■
注目すべき特別な場合
いかなる分枝についても次が成り立つ．
\[(z^{\frac{1}{k}})^{\alpha} = z^{\frac{\alpha}{k}} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})\]複素数冪関数の定義から次を得る．
\[(z^{\frac{1}{k}})^{\alpha} = e^{\alpha\log z^{\frac{1}{k}}}\]ここで $k\in\mathbb{Z}$ より，分枝の選択に関わらず，$\log z^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{k}\log z $ が成り立つから次が得られる．
\[e^{\alpha\log z^{\frac{1}{k}}} = e^{\frac{\alpha}{k}\log z} = z^{\frac{\alpha}{k}}\]これは示したいことだった．■
いかなる分枝についても次が成り立つ．
\[\frac{1}{z^{\alpha}} = \left(\frac{1}{z}\right)^{\alpha}\]いかなる分枝についても次が成り立つことが既に示されている．
\begin{eqnarray} (z^{\alpha})^k &=& z^{k\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C}), \ (z^{\frac{1}{l}})^{\alpha} &=& z^{\frac{\alpha}{l}} ~~ (l\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C}) \end{eqnarray}
これらの右辺が一致するのは $k=1/l=\pm 1$ の場合である． 非自明な場合は $-1$ の場合であり，それは題意の主張に他ならない．■