数学的誤謬複素関数論

誤謬

　

　

判定方法

指数 と が共に整数であるか，
もしくは「すべて主枝」もしくは「すべて同じ分枝」をとった場合は，
表題の指数法則はいつでも成り立つ．
それ以外の場合は特別な場合を除いて保証されない．

反例

今回の反例は例のための例という感があるため省略する．
その理由は分枝をバラバラに選ぶような偏角を考える場合であり，
そのような場合はそうそうない．

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基本事項

複素数の冪関数は次のように定義された．

$$
z^{\alpha} := e^{\alpha\log z}
$$

そして複素対数関数は次のように定義された．

\begin{eqnarray}
\log z &:=& \{\ln |z| + i\arg z \mid z\neq 0 \}, \\
\arg z &:=& \{\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}\}, \\
\mathrm{Log} z &:=& \ln|z| + i\mathrm{Arg} z
\end{eqnarray}

ここで多価性は偏角部分 に表れている．
これらを基礎に丁寧に見ていけば，自ずと誤謬が明らかとなる．

と について

と を評価すると次のようになる．

\begin{eqnarray}
z^{\alpha}z^{\beta} &=& e^{(\alpha + \beta)\mathrm{Log} z + 2\pi i(\alpha n + \beta m)}, \\
z^{\alpha + \beta} &=& e^{(\alpha + \beta)\mathrm{Log} z + 2\pi i(\alpha + \beta)k}
\end{eqnarray}

ここに であり， に対する多価性である．
よって次を得る．

$$
z^{\alpha}z^{\beta} = e^{2\pi i[\alpha(n-k) + \beta(m-k)]} z^{\alpha + \beta}
$$

つまり単純な指数法則は次の場合を除いて一般には成立しない．

$$
(\delta :=) \alpha(n-k) + \beta(m-k) \in \mathbb{Z}
$$

これから普通の指数法則が成立する場合とは次だとわかる．

• 任意の複素数 に対して，すべて主枝を取る場合
• 任意の複素数 に対して，すべて同じ分枝を取る場合 ()
• 任意の分枝に対して，指数 と が共に整数の場合
• この他， であるような特別な場合

参考