数学, 物理学, 計算Grassmann代数, 微分, 積分

勾配・発散・回転の体積積分

勾配・発散・回転の体積積分が与えられることがある．
これに関連した計算をDenker記法および外微分を用いて代数的に議論することができる．

なお以下は 濫用表記のすゝめ (微分記号) の補足ノートからの引用である．

回転の体積積分

の回転 はDenker記法を用いて次のように整理できる．

$$
\mathrm{rot}\vec{A} =
\frac{1}{dx\wedge dy\wedge dz}
\begin{bmatrix}
dS_y\wedge dA_z – dS_z\wedge dA_y \\
dS_z\wedge dA_x – dS_x\wedge dA_z \\
dS_x\wedge dA_y – dS_y\wedge dA_x
\end{bmatrix}
$$

ここで次を定義した．

$$
d\vec{S} =
\begin{bmatrix}
dS_x \\
dS_y \\
dS_z
\end{bmatrix}
:=
\begin{bmatrix}
dy\wedge dz \\
dz\wedge dx \\
dx\wedge dy
\end{bmatrix}
$$

さてこの は 形式であるから， 形式への外微分 を用いて次のような整理ができる．

$$
d_2(A_zdS_y) = dA_z\wedge dS_y = (-)^2dS_y\wedge dA_z = dS_y\wedge dA_z
$$

よって次のように を整理できる．

$$
\mathrm{rot}\vec{A} =
\frac{1}{dx\wedge dy\wedge dz}
\begin{bmatrix}
d_2(A_zdS_y – A_ydS_z) \\
d_2(A_xdS_z – A_zdS_x) \\
d_2(A_ydS_x – A_xdS_y)
\end{bmatrix}
$$

ここで を各成分にかかるものとしても表記し，クロス積を用いれば，次のようにも整理できる．

$$
\mathrm{rot}\vec{A} =
\frac{d_2(d\vec{S}\times\vec{A})}{dx\wedge dy\wedge dz}
$$

これより体積積分および発散定理を用いることで，次の等式を直ちに得ることもできる．

$$
\int_V \mathrm{rot}\vec{A} (dx\wedge dy\wedge dz) = \int_V d_2(d\vec{S}\times\vec{A}) = \oint_{\partial V} d\vec{S}\times\vec{A}
$$

発散の体積積分

同様に発散 はDenker記法の下で次のように表記できる．

$$
\mathrm{div}\vec{B} = \frac{d_2(d\vec{S}\cdot \vec{B})}{dx\wedge dy\wedge dz}
$$

これから発散定理を用いて，次の等式を直ちに得ることもできる．

$$
\int_V \mathrm{div}\vec{B}(dx\wedge dy\wedge dz) = \int_V d_2(d\vec{S}\cdot \vec{B}) = \oint_{\partial V}d\vec{S}\cdot \vec{B}
$$

勾配の体積積分

最後に勾配 はDenker記法の下で次のように表記できる．

$$
\mathrm{grad}\phi = \frac{d_2(\phi d\vec{S})}{dx\wedge dy\wedge dz}
$$

よって次の等式が直ちに得られる．

$$
\int_V \mathrm{grad}\phi(dx\wedge dy\wedge dz) = \int_V d_2(\phi d\vec{S}) = \oint_{\partial V}\phi d\vec{S}
$$

関連

参考

• 濫用表記のすゝめ (微分記号)