複素積分でのコーシーの主値
複素積分でのコーシーの主値
定積分は複素積分までいくと劇的に世界が変わる．
喩えが古臭くて恐縮だが，白黒テレビがカラーテレビになるような，そんな違いだ．
ああ，だからそうだったのか．というような驚きも少なくない．
更に突き進んでいくと超関数までもが調和する世界が見えてくる．
以下ではそのようなとっかかりに至るまでに検討すべき事柄の一つである，
複素積分でのコーシーの主値について触れる．
背景と着想
コーシーの主値は実積分では広義積分に紐付いた極限の取り方の一つだった．
https://mathrelish.com/mathematics/cauchy-principal-value-in-real-spac...複素積分になると積分範囲もしくは積分領域というものは，積分路というどこか動的な感じがする概念へと昇華する．
ここで動的と形容したのはコーシーの積分定理をまず意識してのことである．
コーシーの積分定理と留数定理
コーシーの積分定理とは積分路 
$$
\oint_C dz f(z) = 0
$$
積分路
この変形というところが動的なところであり，実積分にはこれほど綺麗な形ではなかった性質である．
実積分の場合には行って戻るという実にツマラナイ場合であり，何を有難がるのか理解しろというのが難しいものへと退化してしまう．
そして特異点を含んでいる場合は留数定理とよばれる定理へとコーシーの積分定理は一般化される．
$$
\oint_C dz f(z) = 2\pi i\sum_{k}\underset{z=p_k}{\mathrm{Res}}f(z)
$$
このとき右辺に総和記号が表れているが，これは元の積分路 (下図の破線) が一つ一つの特異点を囲む積分路へと分裂していることに対応している．
コーシーの主値と特異点
特異点が積分路上にある場合，一般に積分は一意に定まらない．
これは実積分でも起こったことである．
実積分の場合には特異点があることで，その特異点を除いた開区間で積分をする必要があり，従ってそれは広義積分の例であり，どれくらいの速さで特異点に近づくかという任意性が生じることになる．
そこでコーシーの主値という極限を考えた．
以上のことを複素積分でも考えようというわけである．
閉曲線ではなく特異点だけ抜き取った開曲線といったところである．
よって定義をしていくためには複素積分での広義積分というものを考える必要がある．
定義
コーシーの主値をとる極限
複素積分の積分路 
このとき始点と終点をそれぞれ 
\begin{equation}
\mathrm{p.v.} \oint_C f(z) dz := \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{C_{\varepsilon}} f(z)dz
\end{equation}
コーシーの主値を上記のとおり定めたが，実積分の場合と違って，更に他の極限を考えることができる．
特異点を避ける積分路をとる極限
上図のように特異点を避ける次の二通りの極限を考えることができる．
: 積分路の中に特異点を含まないように避ける積分路の極限
: 積分路の中に特異点を含むように避ける積分路の極限
何れもコーシーの主値を与える積分路
特異点そのものをずらす極限
特異点を積分路上からずらし，積分を実行した然る後に特異点を無限に近い位置に戻すという極限をとる．
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\oint_C f_{\varepsilon}(z) dz ~~ (f(z) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} f_{\varepsilon}(z))
$$
この極限は積分路を一切変更していないことに注意するとともに，積分領域を実数全体にとった実積分の場合には考えられなかったことに注意する．というのも積分領域を実数直線上だけに限ると，逃げ場所がないからである．
コメント
「コーシーの主値」と「特異点を避ける積分路をとる極限」の関係
積分路上の特異点 
$$
\begin{eqnarray}
I_{\mathrm{Cauchy}} := \mathrm{p.v.} \oint_C \frac{f(z)}{z-p} dz &=& i\pi f(p) \\\\
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\gamma^{\pm}_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz &=& \pm I_{\mathrm{Cauchy}}
\end{eqnarray}
$$
但し積分路上の特異点を強調するために 
まず三つある公式のうち，最後の二つの証明を行う．
特異点を避ける積分路をとるので，
$$
\gamma^{\pm}_{\varepsilon}:\theta_1 \rightarrow \theta_2 = \theta_1 \pm \pi
$$
これから次のように値を求めることができる．
$$
\begin{aligned}
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\gamma^{\pm}_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz
&= \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \frac{f(p + \varepsilon e^{i\theta})}{\varepsilon e^{i\theta}} i \varepsilon e^{i\theta} d\theta \\
&= \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\theta_1}^{\theta_2} i f(p + \varepsilon e^{i\theta}) d\theta \\
&= i \int_{\theta_1}^{\theta_2}\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} f(p + \varepsilon e^{i\theta}) d\theta \\
&= i \int_{\theta_1}^{\theta_2} f(p) d\theta \\
&= i f(p)(\theta_2 – \theta_1) \\
&= \pm i\pi f(p)
\end{aligned}
$$
最後にコーシーの主値との関連は次のとおり．
閉じた積分路を 
$$
\oint_{C^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz = 0 ~\Leftrightarrow~ \int_{C_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} = – \int_{\gamma^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p}
$$
従って，半径を無限小に取る極限を取れば，所望の結果を得る．■
上記の結果から次の結果も得ることができる．
$$
\mathrm{p.v.} \oint_C \frac{f(z)}{z-p} dz = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2}\left[ \int_{\gamma^+_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz – \int_{\gamma^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz \right] = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2} \oint_{\gamma^+_{\varepsilon} \cup -\gamma^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz
$$
つまりコーシーの主値は特異点を避ける二つの積分路でできる閉曲線の半分に等しい．
また差ではなく和 (相加平均) をとると恒等的に
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \frac{1}{2}\left[ \int_{\gamma^+_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz + \int_{\gamma^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz \right] = 0
$$
特異点そのものをずらす極限とヒルベルトの公式
この方法は積分路でなく特異点それ自体をずらす方法だが，
実軸上に特異点がある積分について，このような極限をとって計算することが多い．
このとき特異点は実軸に無限に近い位置にあることになる．
特異点というものが実空間にはない，という要請の表れと考えられなくもない．
このような特異点そのものをずらす極限は，例えば次のように，他のコーシーの主値や積分路を変形する極限と独立ではない．
複素関数 
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{f(x)}{x – (p \pm i\varepsilon)} dx = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx \pm i\pi f(p)
$$
積分路上の特異点
$$
I_{\pm} := \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\oint_C \frac{f(z)}{z – (p \pm i\varepsilon)} dz
$$
このとき特に積分路として下図に示す閉曲線をとる．
すると 
$$
I_{\pm} = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x – (p \pm i\varepsilon)} dx
$$
一方で 
$$
I_{\sigma} = \delta_{\sigma,+} 2\pi i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \underset{z=p + \sigma i\varepsilon}{\mathrm{Res}}f(z) = \delta_{\sigma,+} 2\pi i f(p) ~~ (\sigma=\pm)
$$
これは次のように書ける．
$$
I_{\pm} = i\pi f(p) \pm i\pi f(p) = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx \pm i\pi f(p)
$$
よって二つの評価を合わせて次を得る．
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x – (p \pm i\varepsilon)} dx = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx \pm i\pi f(p)
$$
これは所望の結果である．■
ヒルベルトの公式の証明の中で次式が表れた．
$$
I_{\sigma} = \delta_{\sigma,+} 2\pi i \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \underset{z=p + \sigma i\varepsilon}{\mathrm{Res}}f(z) = \delta_{\sigma,+} 2\pi i f(p) ~~ (\sigma=\pm)
$$
この中で 
$$
\frac{1}{2}(I_+ + I_-) = i\pi f(p) = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx
$$
これはコーシーの主値が特異点そのものをずらす二つの極限の相加平均であることを示している．
しかし 
$$
\frac{1}{2}(I_+ – I_-) = i\pi f(p) = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx
$$
不毛な話をしているようであるが，これは超関数のことを考えると，ヒルベルトの公式のようにまとめると都合がよい．
各種の極限の相互関係
特異点を含む複素積分について次の三種類の極限を定め，それらの間に成り立つ関係式を求めた．
- コーシーの主値
- 特異点を避ける積分路をとる極限
- 特異点そのものをずらす極限
ここまでで得られた結果を特に実数直線上について，総合すると次が成り立つとわかる．
$$
\lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x – (p \pm i\varepsilon)} dx = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p} dx + \lim_{\varepsilon\rightarrow 0} \int_{\gamma^{\pm}_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz
$$
ここから特異点と積分路の間の動的な相互作用のようなものを感じ取れる．
つまり特異点を積分路に向けて衝突させると，積分路が衝突方向へ膨れるというような見方である．または逆に積分路を特異点にぶつけて，特異点を弾き飛ばすというような見方である．
上記の関係式から「特異点そのものをずらす極限」によって何某かを計算したものは，
実積分での「コーシーの主値」そのものではなく，「特異点を避ける積分路をとる極限」についての項も加味しているということである．
つまり全体としてみれば複素平面を意識しない結果かもしれないが，これらの積分路もしくは特異点をずらす極限によって何某かを計算するということは，実直線だけでは議論が閉じないということである．
超関数論への昇華
実積分でのコーシーの主値の定義を頼りに，積分路や特異点をずらすという極限に基づいた各種の主値積分を定義できた．これらの考察で得られた関係式の中で次の式に着目する．
$$
f(p) = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i} \oint_{\gamma^+_{\varepsilon} \cup -\gamma^-_{\varepsilon}} \frac{f(z)}{z-p} dz = \lim_{\varepsilon\rightarrow 0}\frac{1}{2\pi i} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x – (p + i\varepsilon)} dx \pm \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x – (p – i\varepsilon)} dx \right]
$$
これは関数 
このような作用によって定義される数学的な構造にディラックのデルタ関数という超関数がある．
$$
f(p) = \int_{-\infty}^{\infty} dx f(x) \delta(x-p)
$$
両者はとても似ており，実際，コーシーの主値と超関数で述べるように，これらの間に関係を構築することができる．
このように主値積分の考察を進めることで，自然な形で超関数論へと進むことができるのである．
https://mathrelish.com/physics/cauchy-principal-value-and-generalized-...物理的な意味
様々な主値積分が数学的に存在することがわかったが，これらの物理的な意味は何だろうか．
物理系それぞれに対応した意味がある訳だが，ここでは一例としてグリーン関数の計算に着目し，その概要を述べよう．
複素質量
グリーン関数の計算ではしばしば「特異点そのものをずらす極限」が表れる．
自然単位系を採用するとき，そのような極限の物理的な意味は特異点を与えている質量を虚数方向にずらすことを意味する．
$$
m^2 \mapsto m^2 – i\varepsilon
$$
物理では質量にかかわらず，時空の次元すらも複素化するので，理論物理を修めていくと複素何某が珍しくないことに気づく．
しかし複素質量というものは少し抵抗があるのは正直なところだろう．
複素化されたといっても，計算の便宜だと押し切ることもできなくはないが，複素数の範囲ではじめて定義される何某かと結びつけることで理解を図るという方法がある．
例えば量子状態 
複素摂動
今回の複素質量というのはそれそのものを見ていてもよくわからない．
質量という古典的な概念は量子論では固有値であり，作用素と状態の副次的なものだからである．
相対論的に言えば，エネルギーと質量は等価であり，今回考えている質量というものは量子論と合わせることでハミルトニアンの固有値と見るべきである．
よって複素質量というのはハミルトニアンが非エルミートになるような質量項への摂動を考えている場合に相当する．
$$
H \mapsto H -i\varepsilon (\mathrm{mass~term})
$$
もしくはより一般に，次のような複素摂動とも捉えることができる．
$$
H \mapsto H -i\varepsilon H \simeq e^{-i\varepsilon} H
$$
径路積分の収束因子
上記のうちどちらの複素摂動を自然が採用しているか (何れでもないかもしれない) はわからないが，ハミルトニアンが時間並進の作用素という物理的な意味を持っていたことを思い出すと，何れにしても有限な
よって 
極限を取る前に得られる恩恵として径路積分の収束因子という意味がある．
ここに場 
$$
\int \mathcal{D}\phi (\cdots) \exp\left[i\int d^Dx \mathcal{L} \right]
$$
$$
\exp\left[-\varepsilon \int d^Dx \frac{1}{2} \phi^2(x) \right]
$$
これは径路積分で収束因子として機能することを意味しており，径路積分を well-defined に定めるのに貢献するという物理的な意味を見出すことができる．もし複素摂動が 
真空真空遷移
上記の物理的な意味の他にもハミルトニアンが時間並進の作用素であるということに立脚した物理的な意味も見出すことができる．この方向で意味を見出そうとすれば，ハミルトニアンの形によって変わることになるので，先の二つある複素摂動それぞれについて異なる意味が見出される．
このためにグリーン関数に立ち返ることになるが，グリーン関数は物理的には，ある始状態があって系に外場を置いたときのある終状態への遷移を表す伝播関数を意味する．このときの始状態と終状態というのが時間的な境界条件となっており，グリーン関数の定義にこれらの情報が必要となる．そして物理的な都合で無限の過去と未来では相互作用が切れて欲しいので，これらは共に真空であってほしい．
さて二つある複素摂動のうち，前者の場合，推論を進めると，複素摂動さえ入れておけば，真空と直交していない限り，どのような始状態と終状態であったとしても，無限の過去と未来をとる極限で，
このことを「
つまり複素質量は真空真空遷移という時間的な境界条件を保証するという物理的な意味を持っている．
径路積分のユークリッド化
一方で後者の複素摂動の場合は，時間発展のユニタリー作用素を考えるとわかるが，時間変数を次のように一斉に変換する摂動という意味を持っている．
$$
(t_1,\cdots,t_n;t_{\mathrm{I}},t_{\mathrm{F}}) \mapsto e^{-i\varepsilon} (t_1,\cdots,t_n;t_{\mathrm{I}},t_{\mathrm{F}})
$$
ここでの各時刻は 
ということで複素時間を考えることになる．元の各時刻には次の広義単調増加な関係があった．
$$
t_{\mathrm{I}} \leq t_1\leq\cdots\leq t_n\leq t_{\mathrm{F}}
$$
即ち，これを保ったまま複素平面上で 
このような回転によって得られる恩恵は，径路積分の数学的な定式化についての正当性との関連である．
というのも，
まとめ
以上から，特異点そのものをずらすという極限には，およそ次のような物理的な意味をもっていることがわかった．
- 径路積分の収束因子
- 境界条件
例題
クラマース・クローニッヒの関係式とヒルベルト変換
複素関数
$$
\begin{eqnarray}
\Re f(p) &=& +\frac{1}{\pi}\mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Im f(x)}{x-p} dx \\\\
\Im f(p) &=& -\frac{1}{\pi}\mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\Re f(x)}{x-p} dx
\end{eqnarray}
$$
「コーシーの主値」と「特異点を避ける積分路をとる極限」の関係から次が成り立った．
$$
\mathrm{p.v.} \oint_C \frac{f(z)}{z-p} dz = i\pi f(p)
$$
これから特に積分路
すると
$$
\mathrm{p.v.} \oint_C \frac{f(z)}{z-p} dz = \lim_{r\rightarrow\infty}\mathrm{p.v.} \int_{-r}^r \frac{f(x)}{x-p}dx = \mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p}dx
$$
よって次を得る．
$$
f(p) = \frac{1}{i\pi}\mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{x-p}dx = \frac{1}{\pi}\mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{-i\Re f(x) + \Im f(p)}{x-p}dx
$$
故に得られた式について実部と虚部を比較して所望の結果を得る．■
クラマース・クローニッヒの関係式は次の異称がある．
- クラマース・クローニッヒ変換
- 分散公式
クラマース・クローニッヒの関係式は実部と虚部がヒルベルト変換で結びついていることを示している．
何故ならばヒルベルト変換とは次のように定義される変換だったからである．
$$
\mathcal{H}[f](p) := \frac{1}{\pi}\mathrm{p.v.} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{f(x)}{p-x}dx
$$
ヒルベルト変換を陽に用いてクラマース・クローニッヒの関係式を書き直せば次のようになる．
$$
\begin{eqnarray}
\mathcal{H}[\Re f](p) &=& +\Im f(p) \\
\mathcal{H}[\Im f](p) &=& -\Re f(p)
\end{eqnarray}
$$