距離空間とは
距離空間
距離という概念は，有史以来，身近であり続けた概念の一つであろう．
単純なユークリッド距離を母体として，より一般的な距離の定義へと至る．
ちょうど絶対値 
そうして構成された距離空間という構造は，ハウスドルフ空間の例でもあり，
距離空間は基本的な位相空間のクラスとなっている．
https://mathrelish.booth.pm/items/1123647/着想と背景
普通，距離と聞いて想像するのは次のユークリッド距離のことであろう．
$$
d_2(x,y) := \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i-y_i)^2}
$$
これを一般に二点間の関数 
「距離」というには何が要求されなければならないだろうか．
そういったことを考えることで，ユークリッド距離以外にも様々な「距離」を見出すことができる．
数学では，よく知られた事柄が満たしている性質をもって，
今度は逆にその性質でもって事柄を定義するということがよくある．
そのような感覚を養う上で，距離空間は比較的わかりやすく，また可視化もしやすく，
そして豊富な応用例があるという，実に適した例ではないだろうか．
定義
集合 
非負条件
$$
d(a,b) \geq 0
$$
対称性条件
$$
d(a,b) = d(b,a)
$$
三角不等式条件
$$
d(a,b) \leq d(a,c) + d(c,b)
$$
非退化性条件
$$
d(a,b) = 0 ~\Leftrightarrow~ a=b
$$
距離の公理を構造として抽象的に捉えることで距離空間の定義を得る．
集合
組 
距離空間の中でも最も素朴な距離空間がユークリッド空間である．
距離空間 
コメント
既存の距離から新しい距離を生成
一般に距離空間
このとき 
規格化
次のように規格化された新しい距離関数 ![d_{[0,1)},d_{[0,1]}](https://s0.wp.com/latex.php?latex=d_%7B%5B0%2C1%29%7D%2Cd_%7B%5B0%2C1%5D%7D&bg=ffffff&fg=000&s=0&c=20201002)
$$
\begin{eqnarray}
d_{[0,1)}(x,y) &:=& \frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} \in [0,1) \\
d_{[0,1]}(x,y) &:=& \min(1,d(x,y)) \in [0,1]
\end{eqnarray}
$$
雪片
次のように新しい距離関数 
$$
d^{\alpha}(x,y) := [d(x,y)]^{\alpha} ~~ (0 < \alpha < 1)
$$
特にこの距離空間 
距離と開集合
距離は開集合と密接な関係がある．例えば開区間 
$$
B^n(r;p) := \{ x\in\mathbb{R}^n ~|~ d_2(x,p) < r \}
$$
開区間を開球体として捉えることで，この議論は一般の 
どうにかしてこの距離という具象性を外せば，より抽象性が増すというものであるが，
それが開集合や位相空間のことである．
距離空間のハウスドルフ性と連続性
距離空間は位相空間の一つの例である．そしてどのような異なる二点をとってきても，それらを中心とする二つの開球体を考えるとき，半径を適当に取ることで重なりがないように分離することができる．つまり距離空間はハウスドルフ空間の例でもある．これにより収束の一意性がいろいろな距離の定義に基づいたすべての距離空間について保証されていることがわかる．
また連続性を直観的に記述すれば次のようになって，
その意味でも距離の概念が開集合よりも具象的に「近さ」を捉えている．
例えば 
$$
d(x,p) < \delta \Rightarrow d(f(x),f(p)) < \varepsilon
$$
このように連続性の議論を定量的に行うには，距離という概念が必要に見える．
しかし開集合を理解することで，位相というより抽象的な階層で連続性という概念が構築されることがわかるようになる．
例
距離空間の例は距離のいろいろな定義の例でもある．
距離 (ミンコフスキー距離)
$$
d_p(x,y) :=
\begin{cases}
1 – \delta_{x,y} & (p=0) \\
\left(\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p\right)^{\frac{1}{p}} & (1 \leq p < \infty) \\
\max_{1\leq i\leq n}(x_i – y_i) & (p=\infty)
\end{cases}
$$
そして 
各距離について原点から等距離にある位置をプロットすると次のようになる．
距離
$$
d_p(x,y) := \sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p ~~ (0 < p < 1)
$$
下図は 
定義から
距離 (関数)
$$
d_p(f,g) :=
\begin{cases}
\left(\int_a^b dx |f(x) – g(x)|^p\right)^{\frac{1}{p}} & (1 \leq p < \infty) \\
\sup_{a\leq x\leq b}|f(x) – g(x)| & (p=\infty)
\end{cases}
$$
数列空間上の距離
実数列 
$$
d(x,y) := \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}\frac{|x_n – y_n|}{1 + |x_n – y_n|}
$$
ブリティッシュレール距離
ブリティッシュレール距離 (British Rail metric) とは次のように定義される
$$
d(x,y) :=
\begin{cases}
\|x\| + \|y\| & (x\neq y) \\
0 & (x = y)
\end{cases}
$$
何故，ブリティッシュレール距離という名がついているかというと，
目的地へ向かうのに，わざわざロンドンを一度経由する必要があるような鉄道網を表現しているからである．
その様子は下図のとおりである．
本当は黒線で行けばよいのだが，そのような鉄道網とはなっておらず，
必ず原点であるロンドンを経由しなければならない，ということを表現している．
つまり赤線が最短経路となる．
ブリティッシュレール距離はこの他にも次のような別称がある．
- 郵便局距離 (post office metric)
- SNCF 距離 (SNCF metric)
SNCF とは Société nationale des chemins de fer français で，
フランス国有鉄道のこと．この場合，ロンドンはパリのことを意味する．
キャンベラ距離
キャンベラ距離とは次のように定義される
$$
d(x,y) := \sum_{i=1}^n\frac{|x_i – y_i|}{|x_i| + |y_i|}
$$
但し総和の中で不定 
キャンベラ距離は定義から次の重みを持ったマンハッタン距離だとわかる．
$$
w(x_i,y_i) := \frac{1}{|x_i| + |y_i|}
$$
つまり個々の成分が
行列ランク距離
行列ランク距離とは次のように二つの行列の間に定義される
$$
d(X,Y) := \mathrm{rank}(Y – X)
$$
ハミング距離
ハミング距離とは同じ長さの二つの文字列に対して，同位置にある文字を比較したとき，異なる文字があった位置の数のことをいう．
文字列を ” で囲むとき，ハミング距離の例は次のとおり．
$$
\begin{eqnarray}
d(\textrm{“”}, \textrm{“”}) &=& 0 \\
d(\textrm{“110”}, \textrm{“101”}) &=& 2 \\
d(\textrm{“rock”}, \textrm{“lock”}) &=& 1
\end{eqnarray}
$$
その他
距離関数の例は実にたくさんある．その一部を以下に記す．
$$
\begin{eqnarray}
d_+(x,y) &:=& \left|\log \frac{y}{x}\right| ~~ (x,y\in\mathbb{R}_{>0}) \\
d(x,y) &:=& \log(1 + |x − y|) \\
d(x,y) &:=& |x^3 − y^3|
\end{eqnarray}
$$