数学Grassmann代数

Grassmann 代数と行列式 (楔積による定式化)

行列式と Grassmann 代数の関連について述べる．
この話題の文献としては Grassmann Algebra and Determinant Theory が入門的で易しい．

行列式との対応

最初に第 成分のみ で他は とした基底 から標準基底 を集めて，次の -要素を定めておく．

$$
a_j := \sum_{i=1}^n A_{ij}e_i
$$

これより次の 次正方行列 を考える．

$$
A := \begin{pmatrix}a_1 & \cdots & a_n\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
A_{11} & \cdots & A_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots \\
A_{n1} & \cdots & A_{nn}
\end{pmatrix}
$$

このとき次が成り立つ．

証明は以下のとおり．

であるが，
ここで は Levi–Civita の完全反対称テンソル を用いて次の評価ができる．

$$
e_{i_1}\wedge\cdots\wedge e_{i_n} = \varepsilon_{i_1\cdots i_n}(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)
$$

よって行列式の定義から直ちに次が得られる．

$$
a_1\wedge\cdots\wedge a_n = D (e_1\wedge\cdots\wedge e_n)
$$

今，もし与えられた基底と行列 に対して，上式を満たす が一意に定まるのならば，除算を定めることができる．
そこで次の二式を考える．

\begin{eqnarray}
a_1\wedge\cdots\wedge a_n &=& D_1 (e_1\wedge\cdots\wedge e_n), \\
a_1\wedge\cdots\wedge a_n &=& D_2 (e_1\wedge\cdots\wedge e_n)
\end{eqnarray}

これらの辺々を引いて次を得る．

$$
(D_1-D_2) (e_1\wedge\cdots\wedge e_n) = \underset{n}{0}
$$

ここで は の零元である．
こうして得た式が成り立つために，まず の場合を考えると，
でなければならなくなるが，これは明らかに成立しない．
よって のみが残る．これは が一意に定まることに他ならない．■

コメント

証明では を用いたが，
これは楔積の反対称性を表すものであり，
一般に標準基底でなくとも が従う．
よってまた次を得る．

$$
\frac{a_{i_1}\wedge\cdots\wedge a_{i_n}}{a_1\wedge\cdots\wedge a_n} = \varepsilon_{i_1\cdots i_n}
$$

行列式の諸性質との対応

楔積を用いた行列式の分数表記は，行列式の多重交代線型性を代数的によく表している．
また分数表記は共通因数の約分という操作を想起させるが，
これも行列式の計算と対応させることができる．

線型性

\begin{eqnarray}
\frac{a_1\wedge\cdots\wedge(a_i+b_i)\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} &=& \frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_i\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} + \frac{a_1\wedge\cdots\wedge b_i\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n},
\\
\frac{a_1\wedge\cdots\wedge (ca_i)\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} &=& c \frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_i\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}
\end{eqnarray}

交代性

$$
\frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_i\wedge\cdots\wedge a_j \wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} = -\frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_j\wedge\cdots\wedge a_i \wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}
$$

この他にも，ある列に別の列を加えても行列式の値が不変であることも，冪零性から明らかである．

$$
\frac{a_1\wedge\cdots\wedge \left(a_i + \sum_{j\neq i}c_ja_j \right) \wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} = \frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_i \wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}
$$

単位行列の行列式

行列 が単位行列であるということは の場合である．
すると分子は分母に等しくなり「約して とする」という計算と対応させることができる．

$$
\frac{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} = 1
$$

これと Grassmann 代数と行列式の関係から次もまた従う．

$$
\frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_n}{a_1\wedge\cdots\wedge a_n} = 1
$$

つまり約分ができる．

行列式の乗算

行列 が の関係にあったとする．
この場合に が従うという性質があった．
これは次の単純な約分の関係に対応しており，遥かに見通しが良い．

$$
\frac{c_1\wedge\cdots\wedge c_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n} = \frac{c_1\wedge\cdots\wedge c_n}{a_1\wedge\cdots\wedge a_n} \frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}
$$

証明は次のとおり．まず より行列 の -成分 は である．

今，行列 を と分解する場合に， は である．
これらのことから次が得られる．

$$
c_j = \sum_{i=1}^n \sum_{k=1}^n A_{ik}B_{kj} e_i = \sum_{k=1}^n B_{kj} \sum_{i=1}^n A_{ik}e_i = \sum_{k=1}^n B_{kj} a_k
$$

すると次の評価ができる．

$$
c_1\wedge\cdots\wedge c_n = (\det B) (a_1\wedge\cdots\wedge a_n) = (\det B)(\det A)(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)
$$

一方で左辺は であることより次が従う．

$$
c_1\wedge\cdots\wedge c_n = (\det C)(e_1\wedge\cdots\wedge e_n)
$$

よって が得られたことになる．

逆行列の行列式

であるが，これは単位行列 に対して であることより，
Grassmann 代数では，先の「行列式の乗算」で示した等式より次が対応する．

$$
1 = \frac{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}{a_1\wedge\cdots\wedge a_n} \frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}
$$

つまり次を得る．

$$
\frac{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}{a_1\wedge\cdots\wedge a_n} = \left. 1 \middle/ \left(\frac{a_1\wedge\cdots\wedge a_n}{e_1\wedge\cdots\wedge e_n}\right) \right.
$$

これは分子分母の単純な式の操作に対応している．

関連

参考

• Grassmann Algebra and Determinant Theory
• Grassmann Algebra: Foundations: Exploring Extended Vector Algebra With Mathematica
• 線型代数 (ちくま学芸文庫)
• 行列|Matrix 第2版 -グラスマンに学ぶ線形代数入門-
• 矩形行列の行列式
• 濫用表記のすゝめ (微分記号) | MRJ 6