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誤謬:複素数冪の指数法則 2

数学的誤謬複素関数論

誤謬

 

次の指数法則は複素数の冪についていつでも成り立つ.

$$
(z^{\alpha})^{\beta} = (z^{\beta})^{\alpha} = z^{\alpha\beta}
$$

 

判定方法

指数 \alpha\beta が共に整数であるか,
もしくは主枝をとった場合は,表題の指数法則はいつでも成り立つ.
それ以外の場合は特別な場合を除いて保証されない.

その特別な場合の中には注目すべき場合があり,コメントで詳しく述べる.

反例

後で述べるように,k\in\mathbb{Z} で,\alpha\in\mathbb{C}\setminus\mathbb{Q} について,以下の計算となる.

$$
(z^{\alpha})^k = z^{k\alpha}
$$

一方で次が得られる.

$$
(z^k)^{\alpha} = e^{2\pi i\alpha m} z^{\alpha k}
$$

つまり主枝 m=0 でない場合には一致しない.
またもし \alpha\in\mathbb{Q} である場合には,
主枝の他にも,既約分数の分母を相殺する分枝を選んでいれば一致するが,それ以外は一致しない.

コメント

基本事項

複素数の冪関数は次のように定義された.

$$
z^{\alpha} := e^{\alpha\log z}
$$

そして複素対数関数は次のように定義された.

\begin{eqnarray}
\log z &:=& \{\ln |z| + i\arg z \mid z\neq 0 \}, \\
\arg z &:=& \{\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}\}, \\
\mathrm{Log} z &:=& \ln|z| + i\mathrm{Arg} z
\end{eqnarray}

ここで多価性は偏角部分 \arg z に表れている.
これらを基礎に丁寧に見ていけば,自ずと誤謬が明らかとなる.

今回は更に以下の等式が重要になる.

\begin{eqnarray}
\log z^{\alpha} &=& \{\alpha \log z + 2\pi i n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}\}, \\
\log z^{\frac{1}{k}} &=& \frac{1}{k}\log z ~~ (k\in\mathbb{Z})
\end{eqnarray}

(z^{\alpha})^{\beta}(z^{\beta})^{\alpha} そして z^{\alpha\beta} について

(z^{\alpha})^{\beta}z^{\alpha\beta} を評価すると次のようになる.

\begin{eqnarray}
(z^{\alpha})^{\beta} &=& e^{\alpha\beta\log z + 2\pi i\beta n}, \\
(z^{\beta})^{\alpha} &=& e^{\alpha\beta\log z + 2\pi i\alpha m}, \\
z^{\alpha\beta} &=& e^{\alpha\beta\log z}
\end{eqnarray}

こうして次を得る.つまり何れも一般には一致しない.

\begin{eqnarray}
(z^{\alpha})^{\beta} &=& e^{2\pi i\beta n}z^{\alpha\beta}, \\
(z^{\beta})^{\alpha} &=& e^{2\pi i\alpha m}z^{\alpha\beta}
\end{eqnarray}

この結果から特に次が成り立つとわかる.

いかなる分枝についても次が成り立つ.

$$
(z^{\alpha})^k = z^{k\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})
$$

しかし次が成立することはその限りでなく,指数の順序を安易に変更できない.

$$
(z^{\alpha})^k = (z^k)^{\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})
$$

証明略■

注目すべき特別な場合

いかなる分枝についても次が成り立つ.

$$
(z^{\frac{1}{k}})^{\alpha} = z^{\frac{\alpha}{k}} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})
$$

複素数冪関数の定義から次を得る.

$$
(z^{\frac{1}{k}})^{\alpha} = e^{\alpha\log z^{\frac{1}{k}}}
$$

ここで k\in\mathbb{Z} より,分枝の選択に関わらず,\log z^{\frac{1}{k}} = \frac{1}{k}\log z が成り立つから次が得られる.

$$
e^{\alpha\log z^{\frac{1}{k}}} = e^{\frac{\alpha}{k}\log z} = z^{\frac{\alpha}{k}}
$$

これは示したいことだった.■

いかなる分枝についても次が成り立つ.

$$
\frac{1}{z^{\alpha}} = \left(\frac{1}{z}\right)^{\alpha}
$$

いかなる分枝についても次が成り立つことが既に示されている.

\begin{eqnarray}
(z^{\alpha})^k &=& z^{k\alpha} ~~ (k\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C}), \\
(z^{\frac{1}{l}})^{\alpha} &=& z^{\frac{\alpha}{l}} ~~ (l\in\mathbb{Z},\alpha\in\mathbb{C})
\end{eqnarray}

これらの右辺が一致するのは k=1/l=\pm 1 の場合である.
非自明な場合は -1 の場合であり,それは題意の主張に他ならない.■

参考