数学的疑義複素関数論

疑義

　

　

紐解き

複素対数関数とは何だったか

対数関数には や といった記号を用いる．
疑義が持たれる等式の左辺は底が明示されていないが，
これは複素対数関数を表す記号として用いている．

特に断りがない限り，複素対数関数は多価関数であり，
定義は次で原点を除いて定義される．

$$
\log z := \{\ln |z| + i\arg z \mid z\neq 0\}
$$

多価関数はもはやシングルトンでない集合であるから，集合記法を陽に書いている．

そして多価性は偏角部分 にある．

$$
\arg z = \{\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}
$$

ここで は偏角の主枝であり，
一価関数であるような偏角の範囲であれば何でも良い．
例えばブランチカットを負の実軸とすれば，次のように値域が定まる．

$$
-\pi < \mathrm{Arg} z \leq \pi
$$

特に主枝を選んで得られる複素対数関数を対数主値といって，次のように書いた．

$$
\mathrm{Log} z := \ln |z| + i\mathrm{Arg} z ~~ (z\neq 0)
$$

複素対数関数を実引数にとると

複素対数関数は原点を除いて定義されたので，
特に実数引数を考えれば，次の多価関数が得られる．

$$
\log x = \{\ln |x| + i\arg x \mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}
$$

ここで更に引数を正実数だとすれば，偏角の主値は となるから，
次の多価関数が得られる．

$$
\log x = \{\ln x + 2\pi in \mid n\in\mathbb{Z} \land x > 0 \}
$$

このうち なる分枝を選択すれば，
次の疑義を覚えるであろう式を正当に得る．

$$
\log x = \ln x + 2\pi i ~~ (x>0)
$$

コメント

主枝をとると

普通，分枝としては主枝である の場合を選択するため，
次を考えることがとても多い．

$$
\mathrm{Log} x = \ln x ~~ (x>0)
$$

すると記号 と が一致することとなり，
複素対数関数の本来の定義を忘れがちになる．
そして連動して，虚部がでてくる出自がわからなくなりがちである．

負実数引数について

同様に引数を負実数にとると，偏角の主値は となるから，
次の多価関数が得られる．

$$
\log x = \{\ln |x| + i(\pi + 2\pi n) \mid n\in\mathbb{Z} \land x < 0 \}
$$

特に主枝を選択して次が得られる．

$$
\mathrm{Log} x = \ln |x| + i\pi ~~ (x < 0)
$$

この場合には虚部が主枝の場合でも表れる．
よって特に次を得る．

$$
\mathrm{Log} (-1) = i\pi
$$