定積分 No.4

計算積分

定積分 No.4

$$
\mathrm{p.v.}\int_0^{\infty} dx \frac{1}{x^3 – 1} = -\frac{\pi\sqrt{3}}{9}
$$

使用するトリック

積分領域に被積分関数は特異点 x=1 を含んでいるので,一般に積分値は極限の取り方に依存する.そのような極限の取り方の一つがコーシーの主値積分である.主題の定積分がコーシーの主値積分を表している.特異点を x=c\in[a,b] とするとき定義は次のとおり.

$$
\mathrm{p.v.} \int_a^b dx f(x) := \lim_{\varepsilon\rightarrow +0} \left( \int_{a}^{c-\varepsilon}dx f(x) + \int_{c+\varepsilon}^{b}dx f(x) \right)
$$

注意すべきはコーシーの主値積分は極限の取り方を与えるものであって,収束までは保証しない.
発散する場合もあるし,不定な場合もある.

以上は計算に意味を持たせる定義に過ぎない.今回のトリックは部分分数分解である.
x^3 - 1を因数分解すると次のとおり.

$$
x^3 – 1 = (-x + 1) (x^2 + x + 1)
$$

一般に次の部分分数分解が成り立つ.

$$
\frac{px^2+qx+r}{(ax+b)(cx^2+dx+e)} = \frac{A}{ax+b} + \frac{Bx}{cx^2+dx+e} + \frac{C}{cx^2+dx+e}
$$

我々はこれを用いる.

導出

被積分関数を部分分数分解すると次のとおり.

$$
\frac{1}{x^3 – 1} = \frac{1/3}{x-1} + \frac{-x/3}{x^2+x+1} + \frac{-2/3}{x^2+x+1}
$$

右辺第二項の分子を分母の微分となるようにしつつ,右辺第三項は平方完成しておく.
つまり前者および第一項は対数関数を得る積分,後者は逆正接関数を得る積分であることを見抜く.

$$
\frac{1}{x^3 – 1} = \frac{1}{3(x-1)} – \frac{2x+1}{6(x^2+x+1)} – \frac{1}{2\left[(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}\right]}
$$

よってこれを不定積分すると次を得る.

$$
\int dx \frac{1}{x^3 – 1} = \frac{1}{6}\ln\left(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\right) – \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan\left(\frac{2x+1}{\sqrt{3}}\right)
$$

これを基にコーシーの主値積分を行い雑多な計算を行うと次のとおりである.

$$
\mathrm{p.v.}\int_0^{\infty} dx \frac{1}{x^3 – 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} \lim_{\varepsilon\rightarrow +0} \left[ -\arctan\left(\frac{3 – 2\varepsilon}{\sqrt{3}}\right) + \arctan\frac{1}{\sqrt{3}} – \frac{\pi}{2} + \arctan\left(\frac{3 + 2\varepsilon}{\sqrt{3}}\right) \right]
$$

この極限は存在して所望の実数値を与える.

感想戦

部分分数分解は不定積分の一般論を展開する上でも基礎となるが,分数である以上は特異点の問題が避けられない.
従ってコーシーの主値積分の話題が必然的に表れることになる.
後は部分分数分解する以上は項別の積分が増えるので,やや退屈な計算が続くことになりやすい.

部分分数分解した不定積分結果が逆正接関数を含むと,定積分することで円周率 \pi もまたよく表れる.今回の計算では \arctan\infty=\frac{\pi}{2} 由来の円周率 \pi が最後に残っている.この他,円周率 \pi3 の冪との積であることも面白い.つまり意識的に書けば次のようになる.

$$
\mathrm{p.v.}\int_0^{\infty} dx \frac{1}{x^3 – 1} = -\pi 3^{\frac{1}{2} – \frac{2}{1}}
$$

参考

2018-12-04計算積分