定積分 No.2

計算積分

定積分 No.2

$$
\int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = 0
$$

使用するトリック

積分領域の分割を考える.

$$
\int_0^{\infty} dx f(x) = \int_0^1 dx f(x) + \int_1^{\infty} dx f(x)
$$

このとき次が成り立つ.

$$
\int_0^a dx f(x) = – \int_a^{\infty} dx f(x) \Leftrightarrow \int_0^{\infty} dx f(x) = 0
$$

導出

変数変換 t=\frac{1}{x} を行って,次のように定積分を評価する.

$$
\int_0^1 dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = \int_{\infty}^1 \left(-\frac{dt}{t^2}\right) \frac{\ln \frac{1}{t}}{1 + \frac{1}{t^2}} = -\int_1^{\infty} dt \frac{\ln t}{1 + t^2}
$$

よって右辺を左辺に移項して,積分領域を統合すれば次を得る.

$$
\int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = 0
$$

感想戦

対数関数があることも考慮して,負符号を出したいために変数変換として逆数をとっている.また逆数が自身に等しい数は 1 のみであるから 1 を堺に積分領域を分割できる.
被積分関数が積分領域の内部に特異点がないことも助かった.

さてより一般的に次の定積分を考えてみる.

$$
I := \int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{b^2 + x^2}
$$

これは最早 0 にはならない.つまり積分領域の分割を意図した計算は途中で止まる.
ほんの少しの根気と異なるアプローチが必要だが,ここで得た結果は無駄にはならない.

参考

2018-12-04計算積分