誤謬：複素数冪の指数法則 1
誤謬
次の指数法則は複素数の冪についていつでも成り立つ．
\[z^{\alpha}z^{\beta} = z^{\alpha + \beta}\]
判定方法
指数 $\alpha$ と $\beta$ が共に整数であるか， もしくは「すべて主枝」もしくは「すべて同じ分枝」をとった場合は， 表題の指数法則はいつでも成り立つ． それ以外の場合は特別な場合を除いて保証されない．
反例
今回の反例は例のための例という感があるため省略する． その理由は分枝をバラバラに選ぶような偏角を考える場合であり， そのような場合はそうそうない．
コメント
基本事項
複素数の冪関数は次のように定義された．
\[z^{\alpha} := e^{\alpha\log z}\]そして複素対数関数は次のように定義された．
| \begin{eqnarray} \log z &:=& {\ln | z | + i\arg z \mid z\neq 0 }, \ \arg z &:=& {\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid z\neq 0 \land n\in\mathbb{Z}}, \ \mathrm{Log} z &:=& \ln | z | + i\mathrm{Arg} z \end{eqnarray} |
ここで多価性は偏角部分 $\arg z$ に表れている． これらを基礎に丁寧に見ていけば，自ずと誤謬が明らかとなる．
$z^{\alpha}z^{\beta}$ と $z^{\alpha + \beta}$ について
$z^{\alpha}z^{\beta}$ と $z^{\alpha + \beta}$ を評価すると次のようになる．
\begin{eqnarray} z^{\alpha}z^{\beta} &=& e^{(\alpha + \beta)\mathrm{Log} z + 2\pi i(\alpha n + \beta m)}, \ z^{\alpha + \beta} &=& e^{(\alpha + \beta)\mathrm{Log} z + 2\pi i(\alpha + \beta)k} \end{eqnarray}
ここに $n,m,k\in\mathbb{Z}$ であり，$z^{\alpha},z^{\beta},z^{\alpha+\beta}$ に対する多価性である． よって次を得る．
\[z^{\alpha}z^{\beta} = e^{2\pi i[\alpha(n-k) + \beta(m-k)]} z^{\alpha + \beta}\]つまり単純な指数法則は次の場合を除いて一般には成立しない．
\[(\delta :=) \alpha(n-k) + \beta(m-k) \in \mathbb{Z}\]これから普通の指数法則が成立する場合とは次だとわかる．
- 任意の複素数 $\alpha,\beta$ に対して，すべて主枝を取る場合
- 任意の複素数 $\alpha,\beta$ に対して，すべて同じ分枝を取る場合 ($n=m=k$)
- 任意の分枝に対して，指数 $\alpha$ と $\beta$ が共に整数の場合
- この他，$\delta=0$ であるような特別な場合