疑義：複素対数関数の実引数
疑義
\[\log x = \ln x + 2\pi i ~~ (x>0)\]
これはよく知る対数関数と明らかに違う． 引数が実数に対して，右辺には虚部が存在している． 何かの間違いではないか？
紐解き
複素対数関数とは何だったか
対数関数には $\log_a$ や $\ln$ といった記号を用いる． 疑義が持たれる等式の左辺は底が明示されていないが， これは複素対数関数を表す記号として用いている．
特に断りがない限り，複素対数関数は多価関数であり， 定義は次で原点を除いて定義される．
\[\log z := \{\ln |z| + i\arg z \mid z\neq 0\}\]多価関数はもはやシングルトンでない集合であるから，集合記法を陽に書いている．
そして多価性は偏角部分 $\arg z$ にある．
\[\arg z = \{\mathrm{Arg} z + 2\pi n \mid n\in\mathbb{Z}\}\]ここで $\mathrm{Arg}$ は偏角の主枝であり， 一価関数であるような偏角の範囲であれば何でも良い． 例えばブランチカットを負の実軸とすれば，次のように値域が定まる．
\[-\pi < \mathrm{Arg} z \leq \pi\]特に主枝を選んで得られる複素対数関数を対数主値といって，次のように書いた．
\[\mathrm{Log} z := \ln |z| + i\mathrm{Arg} z ~~ (z\neq 0)\]複素対数関数を実引数にとると
複素対数関数は原点を除いて定義されたので， 特に実数引数を考えれば，次の多価関数が得られる．
\[\log x = \{\ln |x| + i\arg x \mid x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}\}\]ここで更に引数を正実数だとすれば，偏角の主値は $0$ となるから， 次の多価関数が得られる．
\[\log x = \{\ln x + 2\pi in \mid n\in\mathbb{Z} \land x > 0 \}\]このうち $n=1$ なる分枝を選択すれば， 次の疑義を覚えるであろう式を正当に得る．
\[\log x = \ln x + 2\pi i ~~ (x>0)\]コメント
主枝をとると
普通，分枝としては主枝である $n=0$ の場合を選択するため， 次を考えることがとても多い．
\[\mathrm{Log} x = \ln x ~~ (x>0)\]すると記号 $\mathrm{Log}$ と $\ln$ が一致することとなり， 複素対数関数の本来の定義を忘れがちになる． そして連動して，虚部がでてくる出自がわからなくなりがちである．
負実数引数について
同様に引数を負実数にとると，偏角の主値は $\pi$ となるから， 次の多価関数が得られる．
\[\log x = \{\ln |x| + i(\pi + 2\pi n) \mid n\in\mathbb{Z} \land x < 0 \}\]特に主枝を選択して次が得られる．
\[\mathrm{Log} x = \ln |x| + i\pi ~~ (x < 0)\]この場合には虚部が主枝の場合でも表れる． よって特に次を得る．
\[\mathrm{Log} (-1) = i\pi\]