定積分 No.2
定積分 No.2
\[\int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = 0\]使用するトリック
積分領域の分割を考える．
\[\int_0^{\infty} dx f(x) = \int_0^1 dx f(x) + \int_1^{\infty} dx f(x)\]このとき次が成り立つ．
\[\int_0^a dx f(x) = - \int_a^{\infty} dx f(x) \Leftrightarrow \int_0^{\infty} dx f(x) = 0\]導出
変数変換 $t=\frac{1}{x}$ を行って，次のように定積分を評価する．
\[\int_0^1 dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = \int_{\infty}^1 \left(-\frac{dt}{t^2}\right) \frac{\ln \frac{1}{t}}{1 + \frac{1}{t^2}} = -\int_1^{\infty} dt \frac{\ln t}{1 + t^2}\]よって右辺を左辺に移項して，積分領域を統合すれば次を得る．
\[\int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{1 + x^2} = 0\]感想戦
対数関数があることも考慮して，負符号を出したいために変数変換として逆数をとっている．また逆数が自身に等しい数は $1$ のみであるから $1$ を堺に積分領域を分割できる． 被積分関数が積分領域の内部に特異点がないことも助かった．
さてより一般的に次の定積分を考えてみる．
\[I := \int_0^{\infty} dx \frac{\ln x}{b^2 + x^2}\]これは最早 $0$ にはならない．つまり積分領域の分割を意図した計算は途中で止まる． ほんの少しの根気と異なるアプローチが必要だが，ここで得た結果は無駄にはならない．