定積分 No.16
定積分 No.16
\[\int_0^1 dx \frac{\ln (x+1)}{x^2 + 1} = \frac{\pi}{8}\ln 2\]使用するトリック
まず被積分関数が $\frac{1}{x^2 + 1}$ を含んでいるので次の置換積分によって分母を約せる．
\[x = \tan\theta\]すると対数関数に三角関数が入り込んだ被積分関数となるが，積分領域が有限であることと三角関数を含んでいることから，積分変数のフリッピングを試行してみる．
導出
被積分関数を $x = \tan\theta$ で置換積分して整理すると次を得る．
\[I := \int_0^1 dx \frac{\ln (x+1)}{x^2 + 1} = \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta \ln (\tan\theta + 1)\]次に積分変数のフリッピングを行って，三角関数の加法定理を用いて整理すれば次を得る．
\[I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta \ln\left[ \tan\left(\frac{\pi}{4} - \theta\right) + 1\right] = \int_0^{\frac{\pi}{4}} d\theta \ln\left[ \frac{1 - \tan\theta}{1 + \tan\theta} + 1\right] = \frac{\pi}{4}\ln 2 - I\]よって $I$ について整理すれば所望の結果を得る．
感想戦
今回の定積分はかつて 1844 年に Joseph Alfred Serret (1819-1885) により解かれたことから，Serre の積分とよばれる定積分である．
Serre の積分は次のように一般化できる．
\[I_a := \int_0^a dx \frac{\ln (x+a)}{x^2 + a^2} = \frac{\pi}{8a}\ln(2a^2) ~~ (a>0)\]導出は $I_1$ に対して，$x=\frac{t}{a}$ なる置換積分を行って整理する．それは次のとおり．
\[I_1 = \int_0^a \frac{dt}{a} \frac{\ln\left(\frac{t}{a} + 1\right)}{\frac{t^2}{a^2} + 1} = aI_a - \frac{\pi}{4}\ln a\]これから $I_a$ について整理すればよい．