定積分 No.11
定積分 No.11
\[\int_{\sqrt{2}}^{\infty} dx \frac{1}{x + x^{\sqrt{2}}} = (1+\sqrt{2}) \ln \left[ 1 + 2^{\frac{1}{2}(1 - \sqrt{2})} \right]\]使用するトリック
次式を対数関数の微分ということで対数微分といい，これを用いる．
\[d\ln f(x) = \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}dx\]導出
もっと一般に次の定積分を考える．
\[I := \int_a^{\infty} dx \frac{1}{x + x^m} ~~ (m\neq 1)\]そして被積分関数を次のように変形して $f(x)$ と置く．
\[\frac{1}{x + x^m} = \frac{x^{-m}}{x^{1-m} + 1} =: \frac{x^{-m}}{f(x)}\]すると被積分関数は更に次のように書き直せる．
\[\frac{1}{x + x^m} = \frac{1}{1-m}\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\]よって一般化した定積分は次の様の書ける．
\[I = \frac{1}{1-m} \int_a^{\infty} dx \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{1-m} \int_a^{\infty} d\ln f(x) = \frac{1}{m-1}\ln(1+a^{1-m})\]故に特に $m=a=\sqrt{2}$ をとると求めるべき次の定積分値を得る．
\[\int_{\sqrt{2}}^{\infty} dx \frac{1}{x + x^{\sqrt{2}}} = (1+\sqrt{2}) \ln\left[1 + 2^{\frac{1}{2}(1 - \sqrt{2})}\right]\]感想戦
対数微分はいろいろなところで表れる．良さは $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$ を次元解析をしてわかるように，任意の関数 $f$ が担っているスケールが消えている点である．単純な微分 $f^{\prime}(x)$ であると，$x\in X$ の変化に対する $f\in Y$ の変化量というように，$X,Y$ 二つの異なる世界での変化のスケールは必ずしも同じではなく，それを合わせたい局面で不都合が生じる．対数微分であれば残るのは $X$ の次元のみであるから，$X$ でのスケールを基準とした相対的な考察ができる．